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<!DOCTYPE html>

<title>Logarithme complexe</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Logarithme complexe</span></h1>

</header>

</div>

<p>En <a href="Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, le <b>logarithme complexe</b> est une <a href="Fonction_(math%C3%A9matiques)" title="Fonction (mathématiques)">fonction</a> généralisant la fonction <a href="Logarithme_naturel" class="mw-redirect" title="Logarithme naturel">logarithme naturel</a> (définie sur <span class="texhtml">]0,+∞[</span>) au domaine ℂ* des <a href="Nombre_complexe" title="Nombre complexe">nombres complexes</a> non nuls.

</p><p>Plusieurs définitions sont possibles. Aucune ne permet de conserver, à la fois, l'<a href="Fonction_multivalu%C3%A9e" title="Fonction multivaluée">univocité</a>, la <a href="Continuit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Continuité (mathématiques)">continuité</a> et les propriétés algébriques de la fonction logarithme.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Histoire_des_logarithmes_complexes">Histoire des logarithmes complexes</h2></div>

<p>La question de savoir s'il est possible de prolonger le <a href="Logarithme_naturel" class="mw-redirect" title="Logarithme naturel">logarithme naturel</a> (c'est-à-dire de le définir sur un ensemble plus grand que <span class="texhtml">]0,+∞[</span>) s'est posée dès la seconde moitié du <abbr class="abbr" title="17ᵉ siècle"><span class="romain">XVII</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle avec les développements en série des fonctions. Le passage de

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13d486705a95f9de8522a9910c7774e6ff3861b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:21.185ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}" loading="lazy"></span> à <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \quad \mathrm {e} ^{z}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \quad \mathrm {e} ^{z}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e4f07d80dcb24af3f74ab7f25a6cf58aae21f33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:21.242ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \quad \mathrm {e} ^{z}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}" loading="lazy"></span>

s'était fait de manière naturelle (voir <a href="Exponentielle_complexe" title="Exponentielle complexe">Exponentielle complexe</a>), et il eût été imaginable qu'un passage analogue se fît pour le logarithme népérien. Mais il n'existe aucune fonction univoque continue sur ℂ*, possédant toutes les propriétés algébriques des fonctions logarithmes et coïncidant avec la fonction logarithme népérien réelle sur <span class="texhtml">]0,+∞[</span>.

</p><p>L'existence de plusieurs valeurs possibles pour <span class="texhtml">ln(–1)</span>, par exemple, a donné lieu à des échanges de lettres passionnés entre <a href="Leibniz" class="mw-redirect" title="Leibniz">Leibniz</a> et <a href="Jean_Bernoulli" title="Jean Bernoulli">Bernoulli</a><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Le voile sera levé par <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p><p>On peut cependant définir le logarithme d'un nombre négatif de la manière suivante : <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(-a)=\ln a+{\rm {i}}\pi }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(-a)=\ln a+{\rm {i}}\pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d7b07789a64c67fbca20b5ae74e56198c5bdd26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.261ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln(-a)=\ln a+{\rm {i}}\pi }" loading="lazy"></span> pour <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span> réel strictement positif, en référence au fait que <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(-a)=\ln \left({\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi }a\right)}">

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(-a)=\ln \left({\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi }a\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aeefdf5bbaebfd5f61528f2b2ab15097f084b7ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.848ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ln(-a)=\ln \left({\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi }a\right)}" loading="lazy"></span> et par transfert de propriété : <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(-a)=\ln(a)+{\rm {i}}\pi }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(-a)=\ln(a)+{\rm {i}}\pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c17297bf0720455fb4854b6ecab74c3acded40d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.683ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln(-a)=\ln(a)+{\rm {i}}\pi }" loading="lazy"></span> ; mais la fonction ainsi définie n'a pas toutes les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien réelle. En effet, par exemple, comme l'aurait voulu <a href="Jean_Bernoulli" title="Jean Bernoulli">Bernoulli</a>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(x^{2})=2\,\ln x}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(x^{2})=2\,\ln x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/603db2910d21642291e20d0e588b78d00d3aa3e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.824ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ln(x^{2})=2\,\ln x}" loading="lazy"></span> pour <span class="texhtml"><i>x</i> = –1</span> entraînerait :

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln((-1)^{2})=2\ln(-1)=2(\ln 1+{\rm {i}}\pi )=2{\rm {i}}\pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/750d7b7ec6148fe4cba7e3d1100c1e5a62eb9568.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.568ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ln((-1)^{2})=2\ln(-1)=2(\ln 1+{\rm {i}}\pi )=2{\rm {i}}\pi }" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Mais d'autre part :

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln((-1)^{2})=\ln 1=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43d0f881646365d0e57abaa7b90459064a590a2d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.431ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ln((-1)^{2})=\ln 1=0}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>Cela imposerait l'existence d'au moins deux valeurs différentes, chacune acceptable, comme un logarithme de 1 : <span class="texhtml">0</span> et <span class="texhtml">2iπ</span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définition_des_logarithmes_complexes_point_par_point"><span id="D.C3.A9finition_des_logarithmes_complexes_point_par_point"></span>Définition des logarithmes complexes point par point</h2></div>

<p>On peut définir sur l'ensemble des <a href="Nombre_complexe" title="Nombre complexe">complexes</a>, l'<a href="Exponentielle_complexe" title="Exponentielle complexe">exponentielle complexe</a> :

</p>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp(z)=\mathrm {e} ^{z}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a62601f30330877d11d7d3372ad9382a4eda95f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:21.568ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \exp(z)=\mathrm {e} ^{z}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>On démontre (voir l'article détaillé) que <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exp(x+\mathrm {i} y)=\mathrm {e} ^{x}(\cos y+\mathrm {i} \sin y)}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp(x+\mathrm {i} y)=\mathrm {e} ^{x}(\cos y+\mathrm {i} \sin y)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a60b054fea8f34b657d880c32400d066f44aa294.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.373ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exp(x+\mathrm {i} y)=\mathrm {e} ^{x}(\cos y+\mathrm {i} \sin y)}" loading="lazy"></span>. Par conséquent, la fonction exponentielle est <a href="Surjective" class="mw-redirect" title="Surjective">surjective</a> de ℂ dans ℂ*, et <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exp(z_{1})=\exp(z_{2})\iff z_{2}-z_{1}\in 2\mathrm {i} \pi \mathbb {Z} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp(z_{1})=\exp(z_{2})\iff z_{2}-z_{1}\in 2\mathrm {i} \pi \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b09050b6ab031ae4068055dc8c8ebea823d7824.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.633ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exp(z_{1})=\exp(z_{2})\iff z_{2}-z_{1}\in 2\mathrm {i} \pi \mathbb {Z} }" loading="lazy"></span>.

</p><p>On définit alors un logarithme complexe <span class="texhtml">α</span> d'un nombre complexe <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Α</span> comme une solution de l'<a href="%C3%89quation" title="Équation">équation</a> :

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp(\alpha )=A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea51a61fe22ba8ba650168a4127f1fd73cc41731.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.691ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exp(\alpha )=A}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Ainsi, tout complexe non nul admet au moins un logarithme et deux logarithmes du même nombre diffèrent de <span class="texhtml">2i<i>k</i>π</span>, pour un certain <a href="Entier_relatif" title="Entier relatif">entier relatif</a> <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">k</span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Le_logarithme_complexe_est-il_une_fonction_?"><span id="Le_logarithme_complexe_est-il_une_fonction_.3F"></span>Le logarithme complexe est-il une fonction ?</h2></div>

<p>Peut-on définir une <a href="Fonction_(math%C3%A9matiques)" title="Fonction (mathématiques)">fonction</a> « logarithme », qui ait de bonnes propriétés de régularité (idéalement, <a href="Holomorphe" class="mw-redirect" title="Holomorphe">holomorphe</a>) ?

Il est clair qu'un choix arbitraire devra être fait : par exemple, si on essaie de définir un logarithme au voisinage de 1, il n'y a pas <i>a priori</i> de raison de privilégier un logarithme de 1 plutôt qu'un autre.

</p><p>La première exigence<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[Par qui ?]</sup> est la continuité : on parlera de détermination continue du logarithme. Les deux résultats suivants s'obtiennent en utilisant la notion <a href="Topologie" title="Topologie">topologique</a> de <a href="Connexit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Connexité (mathématiques)">connexité</a> :

</p>

<p><strong class="theoreme-nom">Théorème d'unicité</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>

Sur tout <a href="Ouvert_(topologie)" title="Ouvert (topologie)">ouvert</a> <a href="Connexit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Connexité (mathématiques)">connexe</a>, s'il existe une détermination continue du logarithme, elle est <a href="Unicit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Unicité (mathématiques)">unique</a> à une constante additive près de la forme <span class="texhtml">2i<i>k</i>π</span>, où <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">k</span> est un entier relatif.

</p>

</div>

<p><strong class="theoreme-nom">Théorème d'inexistence</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>

Sur un ouvert connexe, contenant une <a href="Courbe" title="Courbe">courbe</a> d'<a href="Indice_d'un_lacet" class="mw-redirect" title="Indice d'un lacet">indice</a> 1 autour de l'<a href="Origine" title="Origine">origine</a> (par exemple un <a href="Cercle" title="Cercle">cercle</a> centré en l'origine), il n'existe pas de détermination continue du logarithme.

</p>

</div>

<p>Ce deuxième théorème, crucial, montre une obstruction à l'existence d'un logarithme complexe défini sur tout ℂ*.

</p><p>En effet, lorsqu'on suit (démarche qui évoque le <a href="Prolongement_analytique" title="Prolongement analytique">prolongement analytique</a>) une hypothétique détermination continue du logarithme le long d'un lacet autour de l'origine, dans le <a href="Sens_direct" class="mw-redirect" title="Sens direct">sens direct</a>, et qu'on revient au point de départ, on a ajouté <span class="texhtml">2iπ</span> à la valeur initiale du logarithme. Par exemple, considérons un ouvert contenant le <a href="Cercle_unit%C3%A9" title="Cercle unité">cercle unité</a>, et choisissons 0 comme logarithme de 1. Les points du cercle unité proches de 1 s'écrivent <span class="texhtml">e<sup>i<i>t</i></sup></span> avec <span class="texhtml"><i>t</i></span> <a href="Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">réel</a> proche de 0. La continuité du logarithme conduit à poser <span class="texhtml">ln(e<sup>i<i>t</i></sup>) = i<i>t</i></span> pour ces points. En répétant ce procédé le long du cercle, on trouve après un tour complet une nouvelle valeur pour le logarithme de 1, à savoir <span class="texhtml">2iπ</span>. Ce phénomène s'appelle la <a href="Monodromie" title="Monodromie">monodromie</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Détermination_principale_du_logarithme_et_fonctions_issues_du_logarithme"><span id="D.C3.A9termination_principale_du_logarithme_et_fonctions_issues_du_logarithme"></span>Détermination principale du logarithme et fonctions issues du logarithme</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fonctions_issues_du_logarithme">Fonctions issues du logarithme</h3></div>

<p>Une fonction logarithme étant choisie, plusieurs autres <a href="Fonction_(math%C3%A9matiques)" title="Fonction (mathématiques)">fonctions</a> de variable complexe peuvent être définies : la fonction <a href="Nombre_complexe" title="Nombre complexe">argument</a>, et les <a href="Fonction_puissance" title="Fonction puissance">fonctions puissance</a>.

</p><p>En effet, une fonction argument doit être à valeurs réelles et vérifier l'équation :

</p>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=|z|\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\arg z}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8392b1f05b1514e5fe4eba496a6777fadabf6754.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.123ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle z=|z|\mathrm {e} ^{{\rm {i}}\arg z}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Il vient alors naturellement qu'une fonction logarithme <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ϕ</span> étant donnée, on peut poser :

</p>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arg z=-\mathrm {i} (\phi (z)-\ln |z|)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8587e22f0a1f82c8a9884345828b7362e5f2c72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.906ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \arg z=-\mathrm {i} (\phi (z)-\ln |z|)}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>D'après cette équation, l'argument est en fait la <a href="Nombre_complexe" title="Nombre complexe">partie imaginaire</a> du logarithme. L'impossibilité de définir une fonction argument continue sur tout ℂ est une obstruction de même nature que la monodromie du logarithme.

</p><p>La donnée d'une détermination du logarithme <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ϕ</span> fournit un choix <a href="Canonique_(math%C3%A9matiques)" title="Canonique (mathématiques)">canonique</a> de fonctions puissance : <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\mapsto \exp(\alpha \phi (z))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\mapsto \exp(\alpha \phi (z))}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed1215376615d473b371169606dee1cc72e0b835.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.834ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z\mapsto \exp(\alpha \phi (z))}" loading="lazy"></span> détermine une fonction « <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">z</span> puissance <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">α</span> ».

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Détermination_principale"><span id="D.C3.A9termination_principale"></span>Détermination principale</h3></div>

<p>Afin de définir de façon correcte et explicite un logarithme, on peut contourner le problème de la monodromie par la définition d'un logarithme sur le plan complexe privé d'une demi-droite issue de l'origine, ce qui peut être fait par exemple à l'aide de la formule intégrale suivante :

</p>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(x)=\int _{0}^{1}{\frac {{\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)}{f(t,x)}}~\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c52d6c55938452bd8d2f6f544b08379f41c6d565.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:22.959ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle L(x)=\int _{0}^{1}{\frac {{\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)}{f(t,x)}}~\mathrm {d} t}" loading="lazy"></span> où <span class="texhtml"><i>f</i>(<i>t</i> , <i>x</i>) = <i>t</i>(<i>x</i> – 1) + 1</span>.</dd></dl>

<p>On obtient ainsi la <i><a href="Valeur_principale" class="mw-redirect" title="Valeur principale">détermination principale</a></i> du logarithme, définie sur l'ensemble des complexes privé de l'ensemble des réels négatifs ou nul par la formule :

</p><p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(z)=\ln {|z|}+\mathrm {i} {\text{Arg }}z}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(z)=\ln {|z|}+\mathrm {i} {\text{Arg }}z}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65d72e90327da75ac6c52166bc417ca88d4bb983.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.26ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(z)=\ln {|z|}+\mathrm {i} {\text{Arg }}z}" loading="lazy"></span> où <span class="texhtml">Arg <i>z</i></span> est l'<a href="Argument_principal_d'un_nombre_complexe" title="Argument principal d'un nombre complexe">argument principal</a> de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">z</span>.

</p><p>D'après le théorème d'unicité ci-dessus, c'est l'unique détermination continue du logarithme définie sur cet ensemble et qui s'annule en 1.

</p><p>Une détermination sur un domaine <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_(mathematical_analysis)" class="extiw external" title="en:Domain (mathematical analysis)"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Domain (mathematical analysis) »">(en)</span></a> (c'est-à-dire à un <a href="Ouvert_(topologie)" title="Ouvert (topologie)">ouvert</a> <a href="Connexit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Connexité (mathématiques)">connexe</a>) strictement inclus dans le domaine précédent peut aussi être obtenue au travers des <a href="S%C3%A9rie_enti%C3%A8re" title="Série entière">séries entières</a><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> :

</p>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(1+z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}z^{n}=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa06743fc63b78a628cec0e59746db6c3cd59d53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:48.316ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \ln(1+z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}z^{n}=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots }" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Cette série entière résulte de l'intégration terme à terme de <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-z)^{k}={\frac {1}{1+z}}}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-z)^{k}={\frac {1}{1+z}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1a639235bdaeceee5cdfb773dee247234894549.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:18.175ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-z)^{k}={\frac {1}{1+z}}}" loading="lazy"></span> donc son <a href="Rayon_de_convergence" title="Rayon de convergence">rayon de convergence</a> est 1. En outre, <a href="Sommation_par_parties#Exemples" title="Sommation par parties">une sommation par parties montre qu</a>'elle converge lorsque <span class="texhtml">|<i>z</i>| = 1</span>, avec l'exception notable de <span class="texhtml"><i>z</i> = −1</span> : <span class="texhtml">ln 0</span> n'existe pas.

</p><p>Le lien entre logarithme et argument, l'expression classique de l'<a href="Argument_principal_d'un_nombre_complexe" title="Argument principal d'un nombre complexe">argument principal</a> en termes de parties réelles et parties imaginaires, et le résultat d'unicité énoncé ci-dessus amènent à l'identité :

</p>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mi>arctan</mi>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(x+\mathrm {i} y)=\ln |x+\mathrm {i} y|+2\mathrm {i} \arctan \left({\frac {y}{x+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b2a5e3983055b2f02b4a2263c6705930ea44fd7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:52.009ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle L(x+\mathrm {i} y)=\ln |x+\mathrm {i} y|+2\mathrm {i} \arctan \left({\frac {y}{x+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\right)}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>On reconnaît pour la partie imaginaire la fonction <a href="Atan2" title="Atan2">atan2</a>.

</p><p>Ainsi définie, <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">L</span> est une <a href="Fonction_holomorphe" title="Fonction holomorphe">fonction holomorphe</a> sur ℂ\ℝ<sup>–</sup> et elle coïncide sur <span class="texhtml">]0 , +∞[</span> avec la fonction logarithme naturel.

</p><p>Il faut néanmoins être prudent, parce que certaines propriétés familières du logarithme réel ne sont plus vérifiées pour le logarithme complexe. Par exemple, <span class="texhtml"><i>L</i>(e<sup><i>z</i></sup>)</span> n'est pas toujours égal à <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">z</span>, et <span class="texhtml"><i>L</i>(<i>zw</i>)</span> n'est pas toujours égal à <span class="texhtml"><i>L</i>(<i>z</i>) + <i>L</i>(<i>w</i>)</span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Représentation_de_la_branche_principale"><span id="Repr.C3.A9sentation_de_la_branche_principale"></span>Représentation de la branche principale</h3></div>

<li class="gallerycaption">Représentation de la <a href="Partie_r%C3%A9elle" title="Partie réelle">partie réelle</a>, de la <a href="Valeur_absolue" title="Valeur absolue">valeur absolue</a> de la <a href="Partie_imaginaire" title="Partie imaginaire">partie imaginaire</a>, et du <a href="Module_d'un_nombre_complexe" title="Module d'un nombre complexe">module</a> de la branche principale du logarithme dans le plan complexe.</li>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle z=\Re (\ln(x+\mathrm {i} y))}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1320b35f512a69aa473b26a5fcaf9e82e41f35a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.641ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle z=\Re (\ln(x+\mathrm {i} y))}" loading="lazy"></span></div>

</li>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle z=|\Im (\ln(x+\mathrm {i} y))|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f312a2af9cf783045b1ee4e467fc1e28012afa9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.299ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle z=|\Im (\ln(x+\mathrm {i} y))|}" loading="lazy"></span></div>

</li>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle z=|\ln(x+\mathrm {i} y)|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b72390ee976909c51c39d96ea1df5a977bc631e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.588ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle z=|\ln(x+\mathrm {i} y)|}" loading="lazy"></span></div>

</li>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définition_à_partir_d'équations_différentielles"><span id="D.C3.A9finition_.C3.A0_partir_d.27.C3.A9quations_diff.C3.A9rentielles"></span>Définition à partir d'équations différentielles</h2></div>

<p>Sauf indication contraire, dans cette partie, toutes les <a href="%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle" title="Équation différentielle">équations différentielles</a> considérées sont <a href="%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle_lin%C3%A9aire" title="Équation différentielle linéaire">linéaires</a>.

</p><p>Il est bien connu que le logarithme réel est une <a href="Primitive" title="Primitive">primitive</a> de la <a href="Fonction_inverse" title="Fonction inverse">fonction inverse</a> : c'est une solution de l'équation différentielle :

</p>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\phi '(z)=1\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/900741eb5a58c6d77dcb647b7e73633c0a0e95d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.704ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle z\phi '(z)=1\,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>En fait, on peut <b>définir</b> un logarithme complexe comme une solution <a href="Holomorphe" class="mw-redirect" title="Holomorphe">holomorphe</a> de cette <a href="%C3%89quation" title="Équation">équation</a>. Il est facile de voir que cette définition est équivalente à celle faisant intervenir la fonction exponentielle. On rattache ainsi la question du logarithme complexe à celle plus générale des <a href="%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle_holomorphe" title="Équation différentielle holomorphe">équations différentielles holomorphes</a>.

</p><p>C'est dans ce contexte qu'intervient de façon naturelle la question de <a href="Monodromie" title="Monodromie">monodromie</a>. Le cas des fonctions puissance entre aussi dans ce cadre des fonctions définies comme solutions d'équations différentielles : pour <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c2956c000d6b14cfab5918e7129edd52af31706.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.006ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }" loading="lazy"></span> une fonction <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\mapsto z^{\alpha }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\mapsto z^{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5106972cc0ce257c7174f90a653d6e59fc22c0e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.077ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle z\mapsto z^{\alpha }}" loading="lazy"></span> peut être définie comme solution de l'équation différentielle :

</p>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\phi '(z)=\alpha \phi (z)\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f729753665a873796cae52a5cfe3afb6d3d5f92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.312ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle z\phi '(z)=\alpha \phi (z)\,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Prenons l'exemple de la <a href="Racine_carr%C3%A9e" title="Racine carrée">racine carrée</a> (<span class="texhtml">α = <span class="frac nowrap"><sup style="font-size: 70%; vertical-align: 0.4em;">1</sup>⁄<sub style="font-size: 70%; vertical-align: 0em;">2</sub></span></span>). Il y a le même problème de non-unicité que pour le logarithme : chaque nombre non nul a deux racines carrées complexes, opposées l'une de l'autre. En particulier, on peut passer de l'une à l'autre grâce à l'opération de multiplication par –1. Un choix canonique était possible pour la racine carrée des réels positifs : le choix de la racine carrée positive. Ce n'est plus possible pour les complexes. Le phénomène de <a href="Monodromie" title="Monodromie">monodromie</a> n'est pas tout à fait le même que pour le logarithme quand on fait un tour autour de l'origine : cette fois-ci, cela revient à multiplier la racine carrée initialement choisie par –1. Il faut remarquer que la monodromie est en un certain sens plus simple pour la racine carrée : au bout d'un deuxième tour, on revient à la valeur de départ, ce qui n'arrivera jamais pour le logarithme.

</p><p>En langage plus savant : l'origine est un point <a href="Singularit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Singularité (mathématiques)">singulier</a> pour nos deux équations différentielles, et à un point singulier d'une équation différentielle est associé le groupe de monodromie de la façon suivante : le <a href="Groupe_fondamental" title="Groupe fondamental">groupe fondamental</a> de l'<a href="Espace_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Espace (mathématiques)">espace</a> ℂ privé des points singuliers de l'équation considérée (dans nos exemples, cet espace est ℂ* et le groupe fondamental est <span class="texhtml">π<sub>1</sub>(ℂ*) ≃ ℤ</span>) agit sur les espaces de solutions locales de l'équation par <a href="Prolongement_analytique" title="Prolongement analytique">prolongement analytique</a> le long des <a href="Lacet_(math%C3%A9matiques)" title="Lacet (mathématiques)">lacets</a>. L'image de la <a href="Repr%C3%A9sentation_des_groupes" class="mw-redirect" title="Représentation des groupes">représentation</a> ainsi obtenue est par définition le groupe de monodromie de l'équation : c'est donc un <a href="Groupe_quotient" title="Groupe quotient">groupe quotient</a> du groupe fondamental. Dans nos exemples, on trouve que le groupe de monodromie est isomorphe à ℤ pour le logarithme, à ℤ/2ℤ pour la racine carrée.

</p><p>Dans le cas d'une équation à plusieurs singularités, le groupe de monodromie ainsi défini est le groupe de monodromie global. On peut aussi définir un groupe de monodromie local associé à chaque singularité. Le groupe de monodromie global sera un quotient du <a href="Produit_libre" title="Produit libre">produit libre</a> des groupes de monodromie locaux.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Surfaces_de_Riemann">Surfaces de Riemann</h2></div>

<p>Plutôt que de se contenter de la détermination principale du logarithme, on privilégie un autre point de vue, plus aisément généralisable : on construit un <a href="Espace_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Espace (mathématiques)">espace</a> <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Géométrie">géométrique</a> qui se <a href="Surjection" title="Surjection">projette</a> dans le <a href="Plan_complexe" title="Plan complexe">plan complexe</a>, dans lequel le logarithme est <a href="Bien_d%C3%A9fini" class="mw-redirect" title="Bien défini">bien défini</a>, et tel que deux points de cet espace dont les logarithmes diffèrent de <span class="texhtml">2i<i>k</i>π</span>, pour un certain entier <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">k</span>, se projettent sur le même point du plan complexe. On reconnaît ici la définition d'un <a href="Rev%C3%AAtement_(math%C3%A9matiques)" title="Revêtement (mathématiques)">revêtement</a> de ℂ* : il s'agit en fait de son <a href="Rev%C3%AAtement_universel" class="mw-redirect" title="Revêtement universel">revêtement universel</a>. On obtient ainsi une <a href="Surface_de_Riemann" title="Surface de Riemann">surface de Riemann</a>.

</p><p>Pour le cas de la fonction <a href="Racine_carr%C3%A9e" title="Racine carrée">racine carrée</a>, on peut se contenter de revêtir par une surface plus proche du plan complexe épointé ℂ* initial (plus proche en termes de classification des revêtements) : la valeur de la fonction étant déterminée à produit près par –1, on pourra se contenter d'un <a href="Rev%C3%AAtement_(math%C3%A9matiques)#Les_fonctions_puissances" title="Revêtement (mathématiques)">revêtement à deux feuillets</a> (contre une <a href="Infini" title="Infini">infinité</a> pour le logarithme).

</p><p>En langage plus savant, et de façon plus générale, on peut voir ces surfaces de Riemann ainsi : on considère le revêtement universel de l'espace ℂ privé des singularités de l'équation considérée. Le <a href="Groupe_de_Galois" title="Groupe de Galois">groupe de Galois</a> de ce revêtement est le <a href="Groupe_fondamental" title="Groupe fondamental">groupe fondamental</a> de l'espace considéré. Pour obtenir la surface de Riemann associée, il faut considérer le sous-<a href="Rev%C3%AAtement_galoisien" class="mw-redirect" title="Revêtement galoisien">revêtement galoisien</a> dont le groupe de Galois est le groupe de monodromie de l'équation considérée. Cette opération se fait par la <a href="Correspondance_de_Galois" title="Correspondance de Galois">correspondance de Galois</a> sur les revêtements. Elle est naturelle dans le sens où elle revient à rendre la monodromie, qui était une obstruction à l'univocité, triviale — et de la manière la moins coûteuse possible, en termes de revêtement.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Deepak Bal, <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://msuweb.montclair.edu/~bald/files/LeibBernLogs.pdf">Leibniz, Bernoulli and the logarithms of negative numbers</a></i></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Euler1751"><span class="ouvrage" id="L._Euler1751">L. Euler, « <cite style="font-style:normal">De la controverse entre Mrs. Leibniz et Bernoulli sur les logarithmes des nombres negatifs et imaginaires</cite> », <i>Mémoires de l'<a href="Acad%C3%A9mie_des_sciences_de_Berlin" class="mw-redirect" title="Académie des sciences de Berlin">Académie des sciences de Berlin</a></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 5,‎ <time>1751</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">139-179</span> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://eulerarchive.maa.org/pages/E168.html">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=De+la+controverse+entre+Mrs.+Leibniz+et+Bernoulli+sur+les+logarithmes+des+nombres+negatifs+et+imaginaires&rft.jtitle=M%C3%A9moires+de+l%27Acad%C3%A9mie+des+sciences+de+Berlin&rft.aulast=Euler&rft.aufirst=L.&rft.date=1751&rft.volume=5&rft.pages=139-179&rft_id=http%3A%2F%2Feulerarchive.maa.org%2Fpages%2FE168.html&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ALogarithme+complexe"></span></span></span>, <a href="Gustaf_Enestr%C3%B6m" title="Gustaf Eneström">E168</a>.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text">Voir par exemple <span class=" plainlinksneverexpand noarchive"><span class="lang-fr" lang="fr"><a class="external text" href="https://fr.wikiversity.org/wiki/fr:S%C3%A9rie_enti%C3%A8re/Exercices/S%C3%A9rie_enti%C3%A8re_et_%C3%A9quation_diff%C3%A9rentielle#Exercice_2">cet exercice corrigé</a></span> sur Wikiversité</span>.</span>

</li>

</ol></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Articles_connexes">Articles connexes</h2></div>

<ul><li><a href="Fonction_W_de_Lambert" title="Fonction W de Lambert">Fonction W de Lambert</a></li>

<li><a href="Logarithme" title="Logarithme">Logarithme</a></li>

<li><span class="page_h" title="Ce lien renvoie vers une page d'homonymie"><a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_d'unicit%C3%A9" class="mw-disambig" title="Théorème d'unicité">Théorèmes d'unicité</a></span><small> <span style="vertical-align:top"><span typeof="mw:File"><a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_d'unicit%C3%A9" title="Théorème d'unicité"></a></span></span></small></li>

<li><a href="Trigonom%C3%A9trie_complexe" title="Trigonométrie complexe">Trigonométrie complexe</a></li></ul>

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